Sobre la banda de Möbius, la botella de Klein, la conjetura de Poincaré y la cabeza de Perelman

A Perelman le ocupaba la cabeza una conjetura que había expresado Poincaré y que la inmensa mayoría de los humanos pasados y presentes ni siquiera sabía formular: todas las formas geométricas finitas, cerradas y sin discontinuidades en los subespacios de tres dimensiones que puedan ser definidas en uno de cuatro, han de ser forzosamente esferas.

Pues va Perelman y demuestra que sí, con lo cual la conjetura asciende a la categoría de teorema y el matemático ruso a la de genio reconocido.

No nos consta exactamente que la banda de Möbius y la botella de Klein sean las hijas pequeñas de esta elucubración genial que ocupó, por lo que parece, las mentes obsesionadas de muchos matemáticos, pero lo merecen.

La banda de Möbius, como saben Vds., se puede formar con una tira de papel (por ejemplo), suficientemente larga para que se pueda doblar sobre sí misma, haciendo que se toquen los extremos,  pero en lugar de formando un cilindro, haciendo un lazo. Su gracia es que, a pesar de ser bidimensional, tiene una sola cara, pudiendo recorrerse de cabo a rabo sin saltos, lo que se puede comprobar pasando un lápiz por toda ella.

La botella de Klein pertenece al mismo o parecido juego mental, pero de la categoría topológica inmediatamente superior: se trata de una figura que, a pesar de su apariencia de contenedor, nada puede guardar, pues no tiene tres dimensiones, sino dos.

Puede fabricarse físicamente, pero también imaginarse, con algo más de esfuerzo. Supóngase una botella normal -de las de cava o sidra el Gaitero, para ponerlo algo más fácil-, estírese el cuello (de la botella) haciéndolo penetrar por un lateral de la misma, y siga metiendo cuello por dentro del frasco, hasta tocar su fondo o culo (siempre el de la botella); suprímase este fondo y, con cuidado de no quemarse el magín, únase el borde del recipiente con el cuello ensanchado. Voilá!.

Hay fotografías de Grigori Perelman que lo muestran un tanto desaliñado, con mirada enajenada,  barba enrevesada y pobladas cejas. No hay aún análisis de su cerebro, pero todo se andará.

El dice que lo de haber resuelto la paradoja de Poincaré es lo de menos. Religioso y austero, vive con su madre en un apartamento pequeño y no acepta premios ni concede entrevistas.

Está seguro de haber conseguido probar la existencia de Dios, confiesa, y de eso sí está orgulloso.

El misterio que hizo devanarse los sesos a San Agustín y tantos otros místicos, filósofos, pensadores, escépticos, ateos, crédulos, discípulos y autodidactas, desvelado al fin. (Recordarán que se cuenta que aquel santo se encontró, mientras paseaba por la playa pensando en demostrar la existencia divina, con un niño que estaba tratando de meter el agua del mar en un hoyo que había hecho en la arena, y que le hizo ver que las intenciones de ambos tenía la misma dificultad práctica).

No alcanzamos a formular matemática o topológicamente la paradoja de Dios, pero intuímos algo de por dónde pueden ir las ecuaciones de Grigori Perleman, el loco aparente que admite tenerlo todo en este mundo tridimensional y rechazó el millón de dólares que la Fundación Clay estaba dispuesta a poner en sus manos por haber resuelto algo que preocupa a muy pocos aunque puede estar afectándonos a todos.

Porque, desde luego, si la banda de Möbius es unidimensional y la botella de Klein puede desarrollarse, punto a punto, en un plano, es lo natural que en el espacio de cuatro dimensiones se puedan definir esferas que están contenidas en él, y en las que se desharía -como por ensalmo- esa cuarta dimensión. Pongamos por caso, el tiempo.

Si la Tierra es una de esas esferas situada en un espacio imaginario de cuatro dimensiones que incluya el tiempo...nosotros...¿lo captan?